頭の体操「つるかめ算」

小学生の難問に挑戦！

つるかめ算とは、２つ以上の異なる種類のものがあり、頭数はわからないけれど、合計（総数）がわかっている問題の総称です。

古い中国の数学書にあるキジとウサギの数を求める問題が始まりとされ、日本では、江戸時代頃に、おめでたいツルとカメに置き換えられ、独自に発展したと言われています。

長方形の面積を使った つるかめ算の代表的な解法です。たてを１羽（１匹）あたりの足の数、横を頭の数（個体数）として、長方形を書き、長方形の面積が「全部の足の数（足の総数）」を表します。

【問題再掲】つるとかめが合わせて10います。足の本数の合計が32本である時、つるは何匹？ かめは何匹？

◆かめを先に求めたい時は、全部をつるにして考えます。

・全部つるだと仮定すると、たて（つる１匹の足の数）は２、横（全部の頭の数）は10なので、面積（全部の足の数）は２×10＝20となります。

・問題文の足の合計数は32本なので、32－20＝12より、12本少ないので、20本から足を12本増やす必要があります。この不足分がかめの足です。

・足の不足分の面積（図の赤枠）は、たてが「かめの足とつるの足の差４－２＝２」で、横がかめの頭の数を示しています。面積12÷縦２＝横６より、かめは６匹となります。

・最後に 総数10－かめ６＝つる４より、つるは４羽です。

これは、面積図は使いませんが、いったん、全部をつる（またはかめ）と考え、足の総数が合うまで、１匹ずつかめ（またはつる）に取り換えていく方法で、式としては面積図と同じになります。

・全部つるだと仮定すると、つる１匹あたりの足２本、全部の頭の数10より、２×10＝20で、足の合計数は20本となります。問題文の足の合計数は32本なので、32－20＝12より、12本足りません。

・そこで、足の総数が合うまで、つる１羽をかめ１匹に取り換えます。１回取り換えるごとに足の総数は、かめの足４本－つるの足２本＝２本増えます。12本ふやすためには、12÷２＝６より、６匹をかめに取り換えれば良いことになり、かめは６匹。

・最後に、総数10－かめ６匹＝４羽より、つるは４羽です。

つるかめ算は、中学生になると、上のように、XとYを使った連立方程式になり、すっきりとすばやく求められます。

いろいろな方向から脳を使って、やわらか頭で算数を楽しんでください。